Дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

Рассмотрим произвольную точку А в потоке жидкости. Давление в этой точке обозначим буквой P. Выделим вблизи неё прямоугольный объём жидкости размерами dx, dy, dz.

Так же как и в случае вывода дифференциальных уравнений для покоящейся жидкости, систему уравнений, выражающую силы, действующие на выделенный объём, получим в проекциях на оси координат. Определим разность давлений, действующих на противолежащие грани:

Эти уравнения получены с учётом предположения, что давление, как и в статике, действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма, а изменение давления по каждой координате равно частному дифференциалу по

соответствующей координате

. Тогда разности этих сил в проекциях на оси координат будут:

Кроме сил давления, на выделенный объём будут действовать инерционные силы в общем случае определяемые ускорениями ax, ay, az

Под действием этих сил рассматриваемый объём жидкости движется с ускорением

, или

в проекциях на оси координат. Тогда получим следующую систему уравнений

которая носит название дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости. Эти уравнения справедливы для идеальной жидкости, т.е. для движения без внутреннего сопротивления, и они описывают связь между силами в жидкости и законами её движения.

Содержание раздела